Contoh Pemodelan Matematika Pada inveksi Virus HIV-1

Dalam sel tubuh, sel tidak terinfeksi, sel terinfeksi dan virus bebas dianggap sebagai fungsi waktu. Dalam waktu t , sel yang tidak terinfeksi dinotasikan S , sel yang terinfeksi I dan virus bebas V . Pada awal mulanya sel tidak terinfeksi yang diproduksi tubuh berjumlah konstan yaitu α . Sel-sel yang tidak terinfeksi mempunyai rata-rata kematian sel tak terinfeksi sebesar δ , sehingga tingkat kematian sel tidak terinfeksi pada suatu waktu adalah δS. Virus yang telah bersarang pada sel kemudian menggunakan sel sebagai media perkembangbiakan. Misalkan rata-rata virus menginfeksi sel pada suatu waktu adalah β sehingga tingkat infeksi pada suatu waktu dapat dirumuskan β SV. Dari uraian tersebut bila dikonstruksikan model untuk jumlah sel tidak terinfeksi adalah :

Untuk sel yang terinfeksi dipengaruhi oleh tingkat infeksi virus dan kematian sel yang terinfeksi. Tingkat infeksi virus adalah β SV , dan untuk sel terinfeksi yang mati, jika dimisalkan rata-rata kematian sel terinfeksi adalah a maka tingkat kematian sel terinfeksi pada suatu waktu adalah aI . Dari uraian yang telah dijelaskan dapat diketahui bahwa jumlah sel terinfeksi pada waktu t adalah :

Dimisalkan rata-rata kematian virus bebas karena kekebalan sel dinotasikan umaka tingkat kematian virus bebas pada suatu waktu dapat dirumuskan uV. Apabila rata-rata kecepatan virus untuk berkembang biak adalah k maka tingkat produksi virus baru adalah kI , sehingga jumlah virus bebas pada suatu waktu dapat dirumuskan :

Secara keseluruhan, Infeksi Virus HIV-1 dapat dimodelkan kedalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut :

dengan α , δ , β , a , k , u adalah nonnegatif.

Contoh kasus

Pada tubuh seorang manusia mempunyai pertumbuhan sebesar 100000, sel pada tubuh mempunyai rata-rata kematian sebesar 0,1. Dalam sel tersebut terdapat virus HIV-1 (Human Imunno Deficiency Virus Type 1) dengan laju rata-rata virus menginfeksi sel adalah 2.10^-7. Virus tersebut berkembang biak dengan laju rata-rata 100, sedangkan rata-rata kematiannya adalah 0.5. Virus HIV-1 yang sudah berkembang berusaha mencari sel, dan mengakibatkan sel terinfeksi HIV-1, rata-rata kematian sel terinfeksi adalah 5. Dari asumsi tersebut dapat dibentuk model yaitu :

dengan menggunakan software maple atau mathematica kita peroleh solusinya dalam bentuk plot grafik berikut ini :

Plot grafik Virus Belum menginveksi

Dari Gambar diatas dapat dilihat bahwa sel tak terinfeksi, perkembangannya mulai menurun pada saat t ≈ 14 dan mulai berkembang pada t ≈ 18 . Dari gambar dapat dilihat saat jumlah sel tak terinfeksi mengalamai penurunan maka jumlah sel terinfeksi mengalami peningkatan. Peningkatan sel terinfeksi seiring dengan peningkatan jumlah virus bebas.

 Plot Grafik Titik Kesetimbangan